Kapitel 4 - AC-Theorie

Hinweis: Dieser nächste Abschnitt ist optional. Sie können direkt zum nächsten Kapitel springen oder weiterlesen. Während Sie sich entscheiden – Steven Sandler (Sandler, Steven M., Power Integrity, 2014 McGraw-Hill Education) behauptet, dass alle erfolgreichen Bücher mindestens einen Drachen enthalten müssen, vorzugsweise einen mittelalterlichen Drachen –, finden Sie hier das Bild eines Drachen:


4.1 AC Theorie - Grundlagen

Im vorigen Abschnitt wurde das Konzept Scheinleistung als Vektor eingeführt, der sich aus den Elementen Blindleistung und Wirkleistung zusammensetzt. Ein Vektor ist ein zweidimensionaler Pfeil, der aus zwei eindimensionalen Skalaren besteht, die im rechten Winkel zueinander stehen (P und Q in Abb. 3.3).

• Ein Vektor kann durch einen Pfeil darüber (z. B. □(S ⃗ ) ) oder einfach durch Fettdruck, z. B. S, gekennzeichnet sein.
• • Die Länge eines Vektors (die Größe oder Betrag) ist die Quadratwurzel der Quadrate der beiden Skalare, die ihn definieren, und wird durch Balken auf den Seiten gekennzeichnet. So in Abb. 3.3:

Genauso wie Scheinleistung (Energie) ein Vektor ist, so sind auch Impedanzen (Reaktanzen) Vektoren. Die Reaktanz eines Induktors besteht aus zwei Elementen, nämlich dem DCR-Widerstand R (der sich mit der Frequenz nicht ändert) und der Impedanz, die direkt proportional zur Frequenz ist. Da beide in Ohm gemessen werden, können sie auf dem gleichen Vektordiagramm dargestellt werden.

Wenn die Frequenz Null ist (DC), dann ist X L = 2πfL auch null, was |Z|=R ergibt, wobei R das DCR des Induktors ist. Sobald die Frequenz nicht Null wird, erhöht sich die skalare XL (die AC-Impedanz) und die sich ergebende AC-Reaktanz wird der Vektor, Z, mit Betrag |Z|. Bei unbegrenzter Frequenz ist die AC-Impedanz unendlich und der Widerstandsskalar R wird null.Der Winkel zwischen den Skalaren ϕ ist von der Kreisfrequenz 2πf abhängig, wobei:


Dasselbe Konzept gilt für kapazitive Reaktanzen
Wenn die Frequenz unbegrenzt ist, dann ist XC = -1 / 2πfC gleich null, woraus folgt: |Z|=R . Der Widerstand R ist jetzt nur der ESR-Widerstand. Wenn sich die Frequenz erhöht, erhöht sich auch die skalare XC (die AC-Impedanz) und die resultierende AC-Reaktanz ist der Vektor, Z, mit Betrag |Z|. Bei DC ist die Impedanz unendlich und der Widerstandsskalar R ist gleich null. Der Winkel zwischen den Skalaren ϕ ist von der Kreisfrequenz 2πf abhängig, wobei:



Hinweis: Der Grund, warum ϕ üblicherweise als positiv mit einem Induktor und negativ mit einem Kondensator gezeigt wird, besteht darin, da die Spannung in einer Induktionsspule den Strom führt, aber in einem Kondensator nacheilt.

Ein Effektivwertzeiger (Phasor) ist ein bestimmter Vektortyp. Wenn ein Impedanz-Vektor mit einem Strom multipliziert wird, wird er in eine Spannung umgewandelt (dies wird allgemein als Ohm’sches Gesetz bezeichnet; |V| = I mal |Z|), aber es ändert sich nicht die Richtung. Die Phaseninformation bleibt erhalten. Solche Vektoren mit konstanter Phase werden als Phasor bezeichnet.

Der Vorteil der Zeiger besteht darin, dass wir Reaktanzen in der Reihe hinzufügen können (der Strom ist daher für alle Elemente derselbe und kann durch einen Referenzzeiger Î dargestellt werden, der der Größe des Stroms entspricht). Der resultierende Spannungszeiger ÎX kann berechnet werden.




Das Gleiche gilt für Reaktanzen, die parallel geschaltet sind (dann ist der Spannungszeiger für alle Elemente gleich) und erlaubt dadurch die Berechnung des resultierenden Stromzeigers ). Die gleiche Beziehung für das Hinzufügen von parallelen Widerständen gilt für das Hinzufügen von parallelen Reaktanzen:



Das ist alles schön und gut, aber wir können nicht jede Impedanz-Berechnung durch das Zeichnen von Vektoren oder Zeigerdiagrammen lösen. Wir brauchen mehr Mathematik.

Der Z-Zeiger besteht aus dem Widerstand und reaktiven Elementen, R und X; also erhalten wir für eine Parallelschaltung Gleichung 4.2 für den Betrag von Z:

Dieser Ausdruck hat die Form eines quadratischen Binoms (ax² + bx + c = 0), das, wenn Sie sich an Ihren Mathematikunterricht erinnern, die allgemeine Lösung von hat.

Das Problem besteht darin, dass, wenn sich herausstellt, dass der Teil 4ac größer als b² ist, wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl haben. Wir können das nicht einfach ignorieren. Dies ist angewandte Mathematik, die auf realen Komponenten basiert, so dass solche Ergebnisse in der Realität auch existieren müssen.

Leonard Euler (1707–1783) gab für die Menge √ ( -1) den Begriff „i“ an, aber da „i“ mit dem Stromsymbol verwechselt werden kann, wird in der Elektronik stattdessen „j“ verwendet.

Jede Beziehung, die einschließlich √ (-1) hat, ist eine komplexe Zahl mit einem Realteil und einem Imaginärteil. Das Wort „imaginär“ impliziert, dass der Begriff nicht wirklich existiert, was nicht wahr ist. Es ist vielleicht hilfreicher, sich eine Reihe von realen Zahlen von -∞ bis +∞ vorzustellen, mit imaginären Zahlen, die um 90° versetzt sind, die ebenfalls von –∞ bis +∞ in der imaginären Ebene reichen:



Wenn wir nun die imaginäre Zahlenlinie um die reale Zahlenachse drehen, erhalten wir:



Sieht das irgendwie bekannt aus? Vielleicht wie das typische Bild des Feldes um einen geraden Draht? Und sieh an! Die Maxwell’sche Elektromagnetische-Feld-Gleichung kann so geschrieben werden:

Dabei ist F das kombinierte EM-Feld, das durch die Kombination des elektrischen E-Feldes und des magnetischen H-Feldes erzeugt wird.

Bei Magnetfeldern ist die Tatsache, dass der Imaginärteil sowohl eine positive als auch eine negative Lösung aufweist, nicht relevant; wir können nur den positiven oder den negativen Teil wählen, da dieser jeweils symmetrisch sind.In anderen Situationen sind die ±-Teile nicht gleichwertig: Wenn Gleichung 4.3 beispielsweise auf die Lichttransmission angewendet wird, werden die positiven und negativen Begriffe üblicherweise als rechts zirkular und links zirkular polarisiertes Licht bezeichnet.

Im Allgemeinen können wir die Beschreibung der rechtwinkeligen Form von Reaktanz-Vektordiagrammen in einer viel ordentlicheren Komplexzahl-Darstellung vereinfachen: Z =cos⁡φ |Z|+sin⁡〖φ |Z|〗 wird zu R + jX.

Das Schöne an dieser Notation ist, dass wir die bekannten Beziehungen des Ohm’schen Gesetzes von DC zu AC erweitern (von DC-Widerständen zu AC-Reaktanzen) und traditionelle Lösungen wie das Thévenin-Theorem zur Analyse von Komponentennetzwerken verwenden können.




Das Hinzufügen von Reaktanzen wird einfacher, da die Ergebnisse immer in Form von Z = R + j X vorliegen. Zum Beispiel wird die Reaktanz einer Induktivität, eines Kondensators und eines Widerstandes, die in Reihe geschaltet sind, zu:





Um zu zeigen, wie nützlich diese Notation ist, nehmen wir das oben gezeigte Netzwerk, das eine resonante Schaltung darstellt, und berechnen seine Lösung. Da die Komponenten in Reihe geschaltet sind, muss der gleiche Strom durch alle drei Komponenten fließen. Bei Resonanz gleichen sich die L- und C-Reaktanzen aus, so dass der Strom, I0, der durch das Netzwerk fließt, einfach │V│/R ist (vorausgesetzt, dass R viel größer als der Kondensator ESR und die Induktivität DCR ist). Bei anderen Frequenzen wird der Strom I, der durch das Netzwerk fließt, zu:



Der Vergrößerungsfaktor Q bestimmt, wie schnell der Strom bei der Resonanzfrequenz von der Spitze abfällt. Q ist definiert als X0/R, wobei X0 die Reaktanz des Netzwerks bei der Resonanz ist.

Wenn die Ergebnisse der Gleichung 4.5 mit unterschiedlichen Q-Werten dargestellt werden, erhalten wir die folgenden typischen Kurven:


So können wir das Verhalten unseres Schwingkreises im Voraus berechnen, ohne ihn tatsächlich aufbauen und den optimalen Q-Faktor experimentell bestimmen zu müssen.